所谓串联元件系统，是指多个元件互相串联组成的一个系统，其中任何一个元件损坏，都会导致整个系统损坏。
这里假设各个元件之间独立且符合指数分布。
假设随机变量T表示寿命：
定义可靠度R(t) = P\{T\lt t\}表示产品在(0,t)时间段内完好的概率。
定义累计失败概率F(t) = P\{T\le t\} = 1 - R(t)表示产品在规定条件下和规定时间内失败的概率。
定义失效概率密度f(t)=\frac{\mathrm{d} F(t)}{\mathrm{d} t}=F^{'}(t)，表示产品在包含t的单位时间内发生失败的概率。
定义失效率\lambda(t)=P\{t\lt T \lt t+\Delta t|T\gt t\}表示在t时刻完好，在(t,t+\Delta t)时间失败的概率。
定义\lambda(t,\Delta t)=\frac{P\{t\lt T \lt t+\Delta t|T\gt t\}}{\Delta t}在以t时刻为中心，\Delta t时间内的平均失败率。
接下来可以求出瞬时失效率：
\lambda(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\lambda(t,\Delta t)
=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{P\{t\lt T \lt t+\Delta t|T\gt t\}}{\Delta t}
=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{P\{t\lt T \le t+\Delta t\}}{P(T\gt t)\Delta t}
=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{F(t+\Delta t)-F(t)}{R(t)\Delta t}
=\frac{F^{'}(t)}{R(t)}
进一步可推出：
\lambda(t)=\frac{F^{'}(t)}{1-F(t)}=\frac{f(t)}{R(t)}=-\frac{R^{'}(t)}{R(t)}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}ln R(t)
对于指数分布：\lambda(t)=\frac{f(t)}{R(t)}=\frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}=\lambda，可见对于指数分布而言，失效率与选定的时间无关，这也被称为指数分布的无记忆性。
接下来分析串联系统的可靠性：
由独立性可得可靠度：
R_s(t)=P\{x\gt t\}=P\{x_1\gt t,x_2\gt t,...,x_n\gt t\}=\prod\limits_{i=1}^n P\{x_i\gt t\}=\prod\limits_{i=1}^n R_i(t)
ln R_s(t)=ln \prod\limits_{i=1}^n R_i(t)
ln R_s(t)=\sum_{i=1}^n ln R_i(t)
而：
\lambda_s(t)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}ln R(t)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} [\sum_{i=1}^n ln R_i(t)]=\sum_{i=1}^n[-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}ln R_i(t)]=\sum_{i=1}^n \lambda_i(t)
可知，对于一个串联元件系统来说，该系统的可靠度为每个元件可靠度之积，而总失效率等于每个元件可靠度之和（无论是否满足指数分布）。